Surfin' Tacoma

If everybody had an ocean
Across Tacoma
Then everybody'd be surfin'
Like California
You'd seem 'em wearing their baggies
Huarachi sandals too
A bushy bushy blonde hairdo
Surfin' Tacoma.

No. No se trata de una versión realizada por El Canto del Loco o por Daddy Yankee sobre la popular canción de los míticos Beach Boys. Se trata de una oda hacia uno de los hechos más llamativos y curiosos de la ingeniería moderna: el colapso del antiguo puente sobre el estrecho de Tacoma que tuvo lugar el día 7 de noviembre de 1940. Gracias a este colapso, se puso de manifiesto la necesidad de aplicar los conceptos propios de la aeroelasticidad y de la dinámica de sistemas a la ingeniería de puentes para poder comprender el comportamiento de aquellos que presentan fenómenos de resonancia y de gran vano bajo la acción del viento. En la primera figura se muestran los movimientos alcanzados por el tablero, previos al colapso del puente, mientras que en la figura siguiente se observa el momento en que se produce la destrucción de éste.





Me gustaría comenzar con un poco de historia preliminar para entender qué fue lo que pasó con tan singular estructura. En 1923 la cámara de comercio de Tacoma comenzó una campaña y estudios para financiar la construcción del puente. Varios renombrados arquitectos de puentes, incluídos Joseph Strauss, quien luego sería ingeniero principal del puente Golden Gate; y David Steinman, constructor del puente Mackinac, fueron consultados. Posteriormente, en 1937 el proyecto toma impulso, cuando la legislatura del estado de Washington State crea la Washington State Toll Bridge Authority y asigna 5000 dólares (si, el sueldo actual de cuatro personas de clase media) para estudiar el pedido de los condados de Tacoma y Pierce para construir un puente sobre el estrecho de Tacoma Narrows. Los planes preliminares especificaban el uso de vigas horizontales de 7,6 m de espesor, que se ubicarían debajo del puente para hacerlo más rígido.

Hasta los momentos parece que no existe anomalía alguna. Sin embargo, Leon Moisseiff, diseñador muy respetado del puente Golden Gate, propuso utilizar vigas más esbeltas, de solo 2,4 m de espesor. Según su propuesta el puente sería más delgado y elegante, y además se reducirían los costos de construcción.

Primer error capital. La interacción fluido-estructura, es decir, aire-puente, puede dar lugar a diversos fenómenos que reciben el nombre de aeroelásticos, los cuales pueden tener carácter oscilatorio y ser crecientes en el tiempo, en cuyo caso dan lugar a inestabilidades de carácter aeroelástico. Los fenómenos aeroelásticos más importantes descritos en ingeniería de estructuras se pueden clasificar como:

• Desprendimiento de torbellinos o vortex shedding en terminología inglesa.
• Galope transversal o galloping.
• Galope inducido por una estela o wake galloping.
• Flameo o flutter.
• Bataneo o buffeting.

El fenómeno aeroelástico ocasionado por la generación y desprendimiento de torbellinos o vortex shedding se debe a la separación del flujo del aire por la presencia de un obstáculo, que en ingeniería de puentes será el tablero, y que se caracteriza por el desprendimiento periódico de torbellinos de sentido de rotación alternado llamados vórtices de Von Kármán, que se muestran en la figura siguiente.



El mencionado desprendimiento de torbellinos genera unas fuerzas verticales sobre el tablero cuyo sentido se va alternando, las cuales son la causa de las vibraciones verticales típicas de este fenómeno aeroelástico. Este tipo de vibraciones aparece a bajas velocidades de viento, dando lugar a problemas de servicio exclusivamente. Con el fin de evitar este fenómeno se pueden plantear dos posibles estrategias: alterar la frecuencia propia de la estructura o aumentar el amortiguamiento de la misma. En el caso del puente de Tacoma, estas estrategias resultan prácticamente inviables a consecuencia del reducido espesor de las vigas utilizadas. La figura presentada a continuación, esquematiza las oscilaciones verticales en un tablero de puente debido al desprendimiento de torbellinos.



El galope transversal o galloping genera movimientos de gran amplitud según la dirección normal al flujo de aire, con frecuencias menores a las que se producirían en el caso de desprendimiento de torbellinos. Este fenómeno es característico de estructuras esbeltas con secciones transversales rectangulares o en forma de D, así como de cables de tendido eléctrico con hielo adherido. En ingeniería de puentes el fenómeno del galope transversal tiene importancia en el diseño de cables de gran longitud en puentes atirantados.

Por su parte, el galope inducido por una estela o wake galloping tiene lugar cuando existen dos obstáculos próximos de tal forma que uno de los cuerpos se encuentra en la estela del otro. Debido a la estela de torbellinos que genera el cuerpo aguas arriba del flujo de aire, el segundo cuerpo recibe una corriente incidente cuya intensidad y sentido variarán con el tiempo. Este fenómeno es típico de las catenarias de ferrocarril y de las líneas de transporte de energía eléctrica en las que los cables discurren agrupados en conjuntos formados por dos, cuatro, seis o más cables situados en paralelo y separados por espaciadores mecánicos en la dirección transversal.

La inestabilidad aeroelástica provocada por el flameo, flutter en inglés, tiene lugar a partir de una cierta velocidad crítica de viento cuando las fuerzas que el flujo de aire provoca sobre el tablero de un puente en combinación con los movimientos del propio tablero dan lugar a amortiguamientos negativos en la estructura de tal manera que los movimientos del tablero se van amplificando hasta que, debido al elevado nivel de tensiones que alcanza el material, se produce el colapso.

La vibración por bataneo o buffeting se corresponde con el estudio de la influencia de la naturaleza turbulenta del viento, esto es, el efecto de las ráfagas u otras perturbaciones de la corriente, las cuales no han sido producidas por el obstáculo que las sufre. Se distinguen dos tipos de bataneo: el generado por la propia turbulencia de la corriente incidente y el debido a las perturbaciones causadas por algún otro obstáculo próximo, situado corriente arriba del obstáculo en consideración, el cual suele denominarse como bataneo de estela o interferencia. Un ejemplo típico de bataneo de estela se produce entre rascacielos próximos en áreas urbanas cuando la dirección del viento es tal que un edificio queda en la estela del otro. En la figura siguiente se muestra un ejemplo de esta situación.



Continuando con el contexto histórico, el puente de Tacoma estaba sólidamente construido, con vigas de acero al carbono ancladas en grandes bloques de hormigón, a diferencia de los diseños precedentes que tenían un entramado característico de vigas y perfiles metálicos por debajo de la calzada. Adicionalmente, en los diseños previos el viento podía atravesar la estructura, pero en el nuevo diseño el viento sería redirigido por arriba y por debajo de la estructura.

Segundo error capital. Al poco tiempo de haber concluido la construcción a finales de junio, el puente fue abierto al tráfico el 1 de julio de 1940. Seguidamente se descubrió que la estructura se deformaba y ondulaba en forma peligrosa aún en condiciones de viento relativamente benignas para la zona.

La resonancia debida a las ráfagas de aire que no podían ser redirigidas era de tipo longitudinal, por lo que el puente se deformaba en esta dirección, con la calzada elevándose y descendiendo alternativamente en ciertas zonas. La mitad de la luz principal se elevaba mientras que la otra porción descendía. Los conductores veían a los vehículos que se aproximaban desde la otra dirección desaparecer y aparecer en hondonadas, que a su vez oscilaban en el tiempo. Sin embargo, se consideraba que la estructura del puente era suficiente como para asegurar que la integridad estructural del puente no estaba amenazada. Incluso se dice que mucha gente disfrutaba del paseo, notando los vaivenes infinitos del tablero, dando la sensación de que navegaban sobre las olas de un mar inhóspito.



El 7 de noviembre de 1940 sucedió el colapso definitivo del puente a causa de un modo de torsión nunca antes observado, con vientos de apenas 65 km/h. Concretamente, la falla se debió al segundo modo propio de torsión, en el cual las ráfagas de aire excitaron peligrosamente la segunda frecuencia propia a torsión de la estructura. En este segundo modo, el punto central del puente permaneció quieto mientras que las dos mitades de la carretera hacia una y otra columna de soporte se retorcían a lo largo del eje central en sentidos opuestos. Dicho de otra manera, el puente se vio afectado por el fenómeno de flameo o flutter anteriormente descrito.

Este segundo modo propio estaba amortiguado en forma negativa, lo cual implica que la amplitud de la oscilación aumentaba con cada ciclo porque la energía aportada por el viento excedía la que se disipaba en la flexión de la estructura. Eventualmente, la amplitud del movimiento aumentó hasta que se excedió la resistencia de los cables de suspensión del puente. Una vez que varios de los cables fallaron, el peso de la cubierta se transfirió a los cables adyacentes, que no soportaron el peso, y se rompieron en sucesión hasta que casi toda la cubierta central del puente cayó al agua.



Cabe destacar que, en el caso del puente de Tacoma Narrows, no existía una perturbación periódica. El viento soplaba en forma constante a 67 km/h. La frecuencia del modo destructivo fue 0,2 Hz, que no se corresponde ni con un modo propio de la estructura aislada ni con la frecuencia de un vortex shedding del puente a la velocidad del viento. El evento solo puede ser comprendido si se consideran acoplados los sistemas estructurales y aerodinámicos lo cual requiere un riguroso análisis matemático para descubrir todos los grados de libertad de esta estructura en particular y el conjunto de cargas impuestas sobre ella.

Tal como he mencionado anteriormente, el puente de Tacoma ha sido el punto de partida de uno de los campos más bonitos de la ingeniería. Aunque los fenómenos aeroelásticos se han manifestado generalmente en puentes colgantes o atirantados, debido a su gran ligereza, recientemente se ha producido algún caso en puentes de otra tipología, que presentaban también gran flexibilidad. En el caso de vortex shedding merece la pena comentar los movimientos de esta naturaleza que sufre el puente Trans-Tokio Bay Crossing. Se trata de un puente que cruza la bahía de Tokio, el cual consiste en una viga continua en cajón realizada en acero. No se trata, por lo tanto, de un puente colgante o atirantado. Su longitud total es de 1630 m y los dos vanos de mayor longitud tienen 240 m cada uno, siendo la anchura total de la sección transversal de 22,9 m. En la figura siguiente se muestra una fotografía del puente.



Algunos de los factores más importantes a considerar al decidir el método más adecuado para controlar las vibraciones inducidas por torbellinos son la estimación de la amplitud de la vibración, el establecimiento de una amplitud admisible y la selección del método de control de la vibración según la Japan Road Association. En concreto, el establecimiento de la amplitud de vibración admisible para el puente Trans-Tokio Bay Crossing se realizó considerando tres estados límite: servicio, fatiga y plastificación de la viga cajón. Tras realizar detallados estudios se optó por instalar 16 TMD’s (tuned mass dampers) para controlar las vibraciones asociadas con el primer y segundo modos de vibración verticales. Las vibraciones asociadas con los modos de vibración de mayor orden fueron controladas aerodinámicamente instalando unas placas verticales fijadas a los postes de las barreras del puente.

Para culminar esta breve (y espero que no tan pesada) revisión de lo sucedido con el puente de Tacoma, me gustaría agregar que lamentablemente hubo una víctima en este incidente grave. Un perrito llamado Tubby que quedó atrapado en el coche de un fotógrafo del Tacoma News Tribune.



Sin duda, el puente de Tacoma y Tubby han sido mártires al servicio de despertar la señal de alarma y la investigación más exhaustiva en el diseño y construcción de las diferentes tipologías de estructuras. Todo ello con la finalidad y el propósito de evitar desastres más graves y lamentables.

REFERENCIAS

[1] Bisplinghoff R. L., Ashley H., Halfman R. L. Aeroelasticity. Dover Publications, Inc. New York, 1996.
[2] Frangopol D. M. Case Studies in Optimal Design and Maintenance Planning of Civil Infrastructure Systems. ASCE, SEI, Reston (Virginia), USA, 1999.
[3] Fujino Y., Yoshida Y. Wind-Induced Vibration and Control of Trans-Tokyo Bay Crossing Bridge. Journal of Structural Engineering. Vol. 128, Nº 8, August, pp. 1012-1025, 2002.
[4] Nieto F., Jurado J. A., Hernández S. Aplicación de la programación distribuida en la obtención de la velocidad de flameo y los análisis de sensibilidad del flameo en puentes de gran vano. Revista Internacional de Métodos Numéricos para Cálculo y Diseño en Ingeniería. Vol 21, 1, pp. 83-101, 2005.

Un pequeño estudio sobre dinámica automotriz

Aproximadamente hace once meses, he enviado un breve artículo para su publicación en una revista científica venezolana. El artículo consiste en un estudio realizado sobre las características dinámicas de la suspensión de un vehículo, como parte de la evaluación final correspondiente a la asignatura "Vibraciones en sistemas mecánicos" que cursé en el programa de doctorado. Dado que a día de hoy no he recibido respuesta del comité editorial de la revista, me permito presentar parte de los resultados obtenidos.
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Análisis de la dinámica de contacto rueda-suelo en un automóvil según el método EuSAMA

Resumen

Para comprobar el estado de la suspensión de los vehículos, es usual utilizar la metodología definida por la norma EuSAMA (European Shock Absorber Manufacturers Association), la cual se basa en colocar cada una de las ruedas del vehículo sobre una plataforma vibratoria y determinar la fuerza normal de contacto plataforma-rueda. En este artículo se presenta un modelo teórico de un cuarto de vehículo liviano con dos grados de libertad. Tal modelización es empleada para caracterizar el comportamiento dinámico ante diversas excitaciones debidas a la plataforma, que representan las condiciones de la carretera durante el desplazamiento del automóvil. Los resultados obtenidos a través de la simulación han sido comparados con los criterios de adhesión de la citada norma.
Palabras claves: norma EuSAMA, contacto plataforma-rueda, vehículo liviano, adhesión.

INTRODUCCIÓN

En multitud de aplicaciones relacionadas con la industria automotriz, es práctica frecuente evaluar el grado de influencia que tienen los principales elementos de la suspensión de un coche, representados por medio de los neumáticos y los amortiguadores, en la lectura del grado de adherencia.

La adhesión hace referencia a la relación entre el mínimo valor de la envolvente superior de una señal de fuerza normal ejercida por una rueda, estimulada con una frecuencia de 0 a 25 Hz y con una amplitud de 3 a 5 mm, y la misma fuerza medida a 0 Hz, teniendo en cuenta que la envolvente es superior. Expresado de otra manera, la adhesión define el mínimo valor de la fuerza normal de contacto rueda-suelo, alcanzado durante la realización de un ensayo determinado.

La normativa EuSAMA ha concretado un procedimiento específico para la evaluación del rendimiento de la suspensión de un vehículo, estableciendo un conjunto de valores estándar de la adhesión. Esta adhesión se interpreta según la siguiente escala de calidad: a > 60, excelente; 40 > a > 20, regular; 20 > a > 0, escasa; a = 0, carente.

En la Figura 1 se puede ver el esquema denominado cuarto de vehículo empleado para estudiar el comportamiento de la suspensión en este entorno, utilizado los parámetros correspondientes a un automóvil liviano Ford Focus con columna McPherson. Se denomina m1 a la masa no suspendida de la rueda (frenos), mientras que m2 es la masa suspendida (chasis, motor) asociada a esta; k1 y c1 son la rigidez y el amortiguamiento del neumático respectivamente; k2 y c2 son la rigidez y el amortiguamiento de la suspensión. Las coordenadas x1 y x2 se miden tomando como origen la posición de equilibrio de la plataforma a y = 0.


Figura 1. Modelo de dos grados de libertad.

El diagnóstico experimental utilizado para cuantificar el nivel de adhesión, se realiza a partir de una plataforma individual para cada rueda del vehículo, por medio de la cual se excita la suspensión a unas condiciones de frecuencia y amplitud de desplazamiento variables, produciendo en consecuencia un movimiento oscilante en el cuerpo del coche, tal como se muestra en la Figura 2.


Figura 2. Esquematización de un ensayo.

MODELADO DEL VEHÍCULO

Para obtener una primera aproximación de la dinámica de contacto rueda-suelo del vehículo, se ha considerado inicialmente que la masa m2 no se mueve debido a su significativa inercia; en consecuencia el sistema equivalente viene dado por una modelización clásica de un grado de libertad, cuya formulación de movimiento viene dada por la Ecuación 1.



En función de los parámetros dinámicos de la suspensión, se ha determinado que la frecuencia propia del sistema equivalente es de 18 Hz mientras que su razón de amortiguamiento es igual a 0.34; por lo que al tratarse de un sistema subamortiguado, se afirma que la respuesta a la dinámica de contacto rueda-suelo es de tipo sinusoidal afectada por una componente exponencial. Para demostrar tal aseveración, se ha hallado la componente alterna Fc de la fuerza de contacto rueda-plataforma, la cual viene dada por la influencia de la fuerza ejercida por el resorte de rigidez k1 y por la fuerza presente en el amortiguador de constante c1.

Empleando la herramienta de la Transformada de Laplace en la expresión de movimiento del sistema, y consiguiendo posteriormente la Transformada de Fourier asociada a la formulación resultante, se ha obtenido la ecuación que permite definir la función de respuesta frecuencial, que relaciona dicha fuerza de contacto rueda-suelo con el desplazamiento vertical de la plataforma. A partir de la misma, se ha representado su módulo tal como se muestra en la Figura 3.


Figura 3. Módulo de la función de respuesta frecuencial obtenida para el modelo simplificado.

La gráfica anterior demuestra el comportamiento subamortiguado del modelo equivalente. Adicionalmente, se observa que para la frecuencia propia, el módulo de la respuesta dinámica es máximo. Por lo tanto, para la situación en la cual se presente una frecuencia de excitación igual a dicha frecuencia propia durante un ensayo experimental, se tendrá por consiguiente un valor mínimo de la fuerza de contacto existente entre la rueda y la plataforma. Este mínimo valor se produce cuando la componente alterna Fc es máxima, por lo que para determinarla se ha evaluado el módulo de la función de respuesta frecuencial de acuerdo a lo reflejado en la Ecuación 2, considerando una amplitud de desplazamiento vertical de la plataforma yp igual a 3 mm.



Para las condiciones citadas, el valor máximo de la componente alterna equivale a 2394 N; sin embargo, la mínima fuerza de contacto rueda-plataforma Ftcmin es 451 N. Por su parte, la adherencia particularizada a dichas condiciones de excitación, es 16%. Estos resultados permiten concluir que si el sistema se excita a su frecuencia propia, además de producirse el mínimo valor de la fuerza de contacto rueda-plataforma, se presentan una situación de adhesión desfavorable. Estas condiciones adversas de adherencia, se deben a que el sistema en análisis entra en resonancia al verse excitado por su frecuencia propia, causando amplitudes de vibración significativas, responsables de una mayor pérdida de contacto entre la rueda y la plataforma, derivando así una disminución de la adhesión entre ambos componentes del sistema.

RESPUESTA ANTE UNA EXCITACIÓN

Partiendo del análisis modal de dos grados de libertad descrito en la Figura 1, se ha considerado una excitación de frecuencia variable acorde con el método EuSAMA, que pasa de 25 Hz a 0 Hz en 30 s bajo la premisa de un régimen estacionario en cada frecuencia. Por tal motivo, se ha considerado una ley de excitación definida de acuerdo a la Ecuación 3, tomando una amplitud de desplazamiento vertical de la plataforma yp igual a 3 mm.



Al incluir la citada excitación en las formulaciones de movimiento del sistema de dos grados de libertad, se ha realizado un procedimiento de integración con el software Simulink, con el propósito de hallar la historia temporal de las variaciones presentes en las coordenadas generalizadas del sistema, motivadas a los efectos derivados de tal excitación. La Figura 4 permite esquematizar el diagrama de bloques empleado para la integración numérica elaborada.


Figura 4. Diagrama de bloques utilizado con el software Simulink para integrar las ecuaciones de movimiento.

Con los registros temporales de las variaciones experimentadas en las coordenadas generalizadas, se ha podido calcular la historia temporal de la fuerza alternante de contacto Fc, la cual no difiere de manera importante a la hallada para el caso de un régimen estacionario. La Figura 5 muestra la evolución temporal de dicha componente alterna de la fuerza de contacto entre la rueda y el suelo.


Figura 5. Historia temporal de la componente alterna de la fuerza de contacto.

En la gráfica previamente expuesta, se evidencian dos envolventes de la fuerza alterna de contacto, una inferior y otra superior, representativas de las severas oscilaciones de la fuerza ocasionadas por el carácter variable de la excitación. Adicionalmente, se observa que aproximadamente a los 20 s de ensayo, se presenta la situación de adherencia más favorable, en la cual el parámetro A de adhesión es igual a 73.1%, característico de un contacto dinámico excelente entre el neumático y la plataforma experimental.

CONCLUSIONES

Se ha elaborado un modelo analítico de dos grados de libertad para un cuarto de vehículo, que permite determinar las condiciones de adherencia existentes durante un ensayo experimental entre la rueda y la plataforma, atendiendo a los valores normalizados por la metodología EuSAMA.

Para la suspensión de un automóvil liviano Ford Focus con columna McPherson, la frecuencia propia de su masa no suspendida es igual a 18 Hz, frecuencia a la cual se presenta la condición más contraproducente y desfavorable de adhesión.

La simplificación del modelo a un sistema de un solo grado de libertad, permite obtener una adecuada aproximación del comportamiento dinámico y vibratorio de la masa no suspendida de la suspensión del vehículo.

Para la excitación propuesta, se produce la mejor condición de adherencia una vez transcurridos 20 s de ensayo experimental. Concretando además, la relación existente entre el tiempo de comienzo de dicha excitación con la frecuencia de excitación.

REFERENCIAS

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[2] Den Hartog J.P. (1976): “Mecánica de las vibraciones”. Editorial CECSA.
[3] Buczaj M., Walusiak S. and Pietrzyk W. (2007): “Diagnostic assessment of technical condition of shock absorbers in automotive vehicles in a selected diagnostic station”. TEKA Kom. Mot. Energ. Roln. No. 7. pp. 59 – 66.
[4] Dimarogonas A.D. (1996): “Vibrations for engineers”. Prentice Hall.
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[6] Gardulski J. (2007): “Wavelet classifier used for diagnosing shock absorbers in cars”. Transport Problems. Vol. 2. No. 3. pp. 115 – 123.
[7] Day T.D. (2005): “Simulation of tire interaction with curbs and irregular terrain”. Engineering Dynamics Corporation. WP-2005-6.
[8] Graham S.K. (2000): “Fundamentals of mechanical vibrations”. McGraw-Hill Science.